Специальные приёмы решения математических задач.

 

 

Задачи на выполнение действий и

 вычислений значения числового выражения.

 

1.                 Выяснить характер данных чисел (точные, приближённые).

2.         Подумать, как быстрее выполнить действия – устно, письменно или с помощью вспомогательных средств (таблиц, микрокалькулятора, графика).

3.          Подумать, нельзя ли использовать для упрощения и рационализации вычислений законы действий,  искусственные приёмы вычислений, тождественные преобразования выражений.

4.          Выбрать наиболее рациональный способ выполнения действий или их сочетание.

5.          Установить порядок действий, используя правило.

6.          Выполнить действия в установленном порядке, используя алгоритмы, частные приёмы или правила вычислений (устных или письменных, точных или приближённых, с помощью вспомогательных средств вычислений).

7.          Проверить вычисления каким-либо способом.

8.          Если нужно, записать вычисление и результат, используя приёмы записи.

 

 

Поиск решения текстовой арифметической задачи.

 

1.                     Изучить содержание задачи.

2.                  Определить, исходя из задачной ситуации, тип задачи (на прямое выполнение какого-либо действия, на движение, на пропорции, на проценты, на кратное отношение искомых величин, на совместную работу, на среднее арифметическое, на смеси, на натуральные числа) и вспомнить известный приём её решения.

3.                         Если п.2 не дал результата, провести общий (нисходящий или восходящий) анализ, приводящий к плану решения.

4.                         Если п.3 не дал результата, вспомнить задачу, аналогичную данной, приём решения которой известен, сравнить их и на этой основе составить план решения.

5.                         Если п.4 не дал результата, временно изменить условия или требования задачи так, чтобы можно было сравнить полученную задачу с данной, затем использовать отмеченный в п.4 приём аналогии.

 

 

Решение текстовой арифметической задачи.

 

1.                       Изучить содержание задачи, используя приёмы (краткую запись, таблицу, геометрическую иллюстрацию).

2.                       Провести анализ – поиск решения, используя приём поиска.

3.               На основе анализа или известного приёма решения составить план решения данной задачи.

4.                       Решить задачу по составленному плану.

5.                       Записать решение с использованием соответствующей символики.

6.                       Если нужно, проверить или исследовать решение.

7.              Рассмотреть другие возможные способы решения, выбрать наиболее рациональный.

8.                       Записать решение и ответ, используя приёмы записи.

 

 

Задачи на упрощение выражения.

 

1.                        Изучить особенности данного выражения.

2.               Установить, какие из следующих тождественных преобразований нужно выполнить, чтобы привести данное выражение к простейшему (стандартному) виду, - общие алгебраические преобразования (раскрытие скобок, приведение подобных, разложение на множители, сокращение дробей и действия с дробями), специальные преобразования (правила действий со степенями, корнями, логарифмами, использование тригонометрических тождеств).

3.                         Выполнить выбранные преобразования, используя соответствующие частные приёмы.

4.                          Записать ответ, если нужно, упростив его.

 

Задачи на нахождение числового значения выражения

наиболее рациональным способом.

 

1.                                  Изучить особенности данного выражения и характер числовых данных.

2.                        Установить, можно ли упростить выражение до подстановки числовых значений букв, после подстановки числовых значений букв.

3.                                  Если можно, упростить выражение, используя соответствующий приём, подставив числовые значения букв.

4.                        Выполнить вычисления, соблюдая порядок действий, и используя соответствующие приёмы вычислений.

5.                                  Записать ответ.

 

Задачи на разложение выражения на множители.

 

1.                                  Изучить особенности данного выражения.

2.                                  Если есть общий множитель у всех слагаемых, вынести его за скобки

3.                                  Рассмотреть выражение, освобождённое от общего множителя; установить,

        нельзя ли использовать формулы сокращённого умножения, правила  действий со степенями, правила действий с корнями, потенцирование, формулы преобразования суммы тригонометрических функций  в произведение и следствия из них.

4.                                  Если п.3 не имеет место,  установить, нельзя ли применить способ группировки, ориентируясь на знаки слагаемых, их коэффициенты, их степени и разложение по степеням какого-либо множителя, тригонометрические тождества, преобразование п.3 к какой-либо группе слагаемых.

5.                                  Выполнить выбранные преобразования, используя соответствующие приёмы.

6.                                  Записать ответ.

 

Задачи на доказательство тождества.

 

1.                                  Изучить особенности выражений в каждой части равенства.

2.                                  Установить, какое из следующих общих алгебраических преобразований удобно использовать для доказательства, - упростить одну часть равенства так, чтобы получить другую; упростить обе части так, чтобы получить верное равенство; разложить одну или обе части на множители; сократить дробь; подобрать верное равенство или неизвестное тождество, каким-либо образом связанное с данным, и преобразовать его так, чтобы получить данное; доказать, что разность частей данного равенства равна нулю.

3.                         Установить, какие из следующих специальных преобразований можно использовать,- разделить числитель и знаменатель дробного выражения на одно и тоже выражение; возвести обе части равенства в степень; извлечь из обеих частей равенства корень; прологарифмировать или пропотенцировать обе части равенства; заменить равенство более простым с помощью тригонометрических тождеств.

4.                         Выполнить выбранные преобразования, используя соответствующие приёмы.

5.                         Сделать вывод.

 

Поиск решения уравнения

(неравенства, системы, совокупности).

 

1.                          Определить по виду уравнения (неравенства, системы, совокупности) и прикидкой, каким методом решения можно воспользоваться,- алгебраическим, графическим, методом интервалов.

2.                         Вспомнить известный (специальный или общий) прием использования этого метода и соотнести его с данным уравнением ( неравенством, системой, совокупностью).

3.                          Определить возможные затруднения при использовании одного метода решения.

4.                          Определить необходимость и возможность комбинации различных методов решения.

5.                           Разделить предполагаемый ход решения на части, соответствующие применению каждого метода, составить план решения каждой из них.

6.                                       Составить общий план решения в целом.

 

Решение уравнения (неравенства, системы, совокупности)

алгебраическим методом.

 

1.                           Определить, является ли данное уравнение (неравенство, система, совокупность) простейшим какого-либо вида (если «да», то выполнить п. 5, если «нет» - п. 2).

2.                           Определить, если необходимо, ОДЗ уравнения (неравенства, системы, совокупности).

3.                            Установить, какие и в каком порядке необходимо выполнить тождественные (общие – раскрытие скобок, приведение подобных, разложение на множители, приведение к общему знаменателю – и специальные для данного вида) и равносильные  (общие – перенесение слагаемых из одной части в другую, умножение или деление обеих частей на одно и то же число, замена переменной – и специальные для данного вида) преобразования, чтобы привести данное уравнение (неравенство, систему, совокупность) к простейшим данного вида.

4.                            Выполнить выбранные преобразования, используя соответствующие приёмы.

5.                            Решить известным способом (по формуле, алгоритму) полученные простейшие уравнения (неравенства, системы, совокупности).

6.                            Если нужно, сделать проверку, исследование, выполнить дополнительные требования к задаче.

7.                            Записать ответ, используя приёмы записи решения (для уравнений в виде равенств, для неравенств - в виде промежутков, для систем – как пересечение, для совокупностей  - как объединение решений составляющих уравнений и неравенств).